內角和與外角定理證明|國中8年級|數學學院

觀念

三角形內角和 $180°$ 的證明靠一條輔助線:過一個頂點作對邊的平行線,利用內錯角相等把另外兩個角「搬」到這個頂點,三個角剛好拼成一個平角。

有了內角和,外角定理就跟著來:外角與相鄰內角合成平角,所以外角 $=$ 另外兩個內角的和。多邊形內角和則是畫對角線切成三角形。寫證明時,輔助線要說清楚怎麼作,每個等號要附理由(內錯角、平角、內角和)。

例: $\triangle ABC$ 延長 $BC$ 到 $D$ 。內角和 $\angle A+\angle B+\angle ACB=180°$ ,平角 $\angle ACB+\angle ACD=180°$ ,兩式相減得 $\angle ACD=\angle A+\angle B$ 。

在 $\triangle ABC$ 中,延長 $BC$ 到 $D$ 。證明外角 $\angle ACD = \angle A + \angle B$ 。(可用三角形內角和 $180°$ )

看參考證明

內角和: $\angle A + \angle B + \angle ACB = 180°$ 。

平角: $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共線,所以 $\angle ACB + \angle ACD = 180°$ 。

兩式右邊相等,消去共同的 $\angle ACB$ : $\angle ACD = \angle A + \angle B$ 。

結論:

\angle ACD = \angle A + \angle B

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