循環小數

直覺:$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$ 永遠寫不完,但有規律——這就是循環小數,用 $0.\overline{3}$ 表示。

規則:分數化成最簡後,分母只含質因數 2、5 的是有限小數,否則是循環小數。循環小數化分數:設 $x = 0.\overline{ab}$,則 $100x - x = ab$,$x = \frac{ab}{99}$;若小數點後先有不循環的位數(如 $0.1\overline{6}$),先乘 10 的次方把它們移到小數點左邊,再用同樣方法相減。

算例:$0.\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$。

為什麼重要:它說明有理數和小數之間的完整對應,也是日後理解「無理數」(不循環的無限小數)的對照組。