黎曼和與積分定義|高中12年級|數學學院

觀念

把區間切成 $n$ 等分、每小段用矩形近似,矩形面積相加就是黎曼和; $n\to\infty$ 的極限就是定積分的定義。用這個觀點可以把 $\lim\dfrac{1}{n}\sum f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ 認出是 $\int_0^1 f(x)dx$ 。

例: $\lim_{n\to\infty}\dfrac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}=\int_0^1x^2dx=\dfrac{1}{3}$ 。

這是積分「無限多個小量相加」本質的來源,也是數值積分的基礎。

利用定積分的定義,求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{2}$ (可為最簡分數)。

看解法與答案

$\dfrac{1}{n}$ 是寬 $\Delta x$ , $\dfrac{k}{n}$ 是 $[0, 1]$ 的右端點,高 $f(x) = x^{2}$ 。

所以這個極限就是定積分 $\int_0^1 x^{2}\,dx$ 。

反導函數 $\dfrac{x^{3}}{3}$ : $\dfrac{1^{3} - 0^{3}}{3} = \frac{1}{3}$ 。

答案:

\frac{1}{3}

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