最佳化應用問題|高中12年級|數學學院

觀念

把實際問題寫成一個變數的函數(周長固定的矩形面積、盒子體積、成本函數),在合理範圍內用導數找臨界點,再與端點比較得最大或最小值。

例:用 40 公尺籬笆圍矩形菜園,面積 $A=x(20-x)$ , $A'=20-2x=0$ , $x=10$ 時面積最大 100。

這是微分最直接的現實應用:工程設計、定價與資源分配。

兩個正數 $x$ 、 $y$ 滿足 $x + y = 15$ ,求 $xy^2$ 的最大值。

看解法與答案

代入 $x = 15 - y$ : $f(y) = (15 - y)y^2 = 15y^2 - y^3$ , $0 < y < 15$ 。

$f'(y) = 30y - 3y^2 = y(30 - 3y) = 0 \Rightarrow y = 10$ ;在此 $f'$ 由正轉負,是最大值。

$x = 5$ , $xy^2 = 5 \times 10^2 = 500$ 。

答案:

500

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