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常態分布

高中 12 年級 · 資料與不確定性

觀念

鐘形的常態分布由平均數 $\mu$ 與標準差 $\sigma$ 決定, $68$ - $95$ - $99.7$ 法則:落在 $\mu\pm\sigma$ 約 68%、 $\mu\pm2\sigma$ 約 95%。把資料標準化 $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ 後就能查同一張表。

例:身高平均 170、標準差 6,則 158 到 182 之間約 95%。

二項分布在 $n$ 大時趨近常態,這是信賴區間用「2 倍標準誤」的理由。

某路段車速近似常態分布,平均 $68$ 公里/時、標準差 $8$ 公里/時。共 $200$ 筆資料,依 68-95-99.7 法則,高於 $84$ 公里/時的約有幾筆?

看解法與答案

依 68-95-99.7 法則:約 68% 落在 $\mu \pm \sigma$ 、95% 落在 $\mu \pm 2\sigma$ 、99.7% 落在 $\mu \pm 3\sigma$ ,且左右對稱。

換成標準分數:高於 $84$ 公里/時對應 $z$ 從 $2$ 到 $\infty$ (邊界 $=\mu + z\sigma$ )。

各段比例:中心到 $1\sigma$ 約 34%、 $1\sigma$ 到 $2\sigma$ 約 13.5%、 $2\sigma$ 到 $3\sigma$ 約 2.35%、 $3\sigma$ 以外約 0.15%。

所求 $= 2.35\% + 0.15\% = 2.5\%$ 。

筆數 $\approx 200 \times 2.5\% = 5$ 。

答案:

5

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