三階行列式

三階行列式可用沙魯斯法(三條正對角線相加、三條反對角線相減)或沿任一列(或任一行)降階展開,例如沿第一列:$a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$,其中 $M_{ij}$ 是去掉該列該行後的二階行列式,符號依位置 $+,-,+$ 交錯。性質:兩列互換變號、一列乘 $k$ 行列式乘 $k$、一列加上另一列的倍數不變、有兩列相同則為 0。

例:$\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{vmatrix}=1(1-0)-2(0-6)+0=13$。三點 $A,B,C$ 的三角形面積是 $\dfrac{1}{2}|\det(\vec{AB},\vec{AC})|$;三向量的行列式絕對值是平行六面體體積。

行列式是體積的代數化,判斷方程組是否恰有一解、矩陣是否可逆都看它。