克拉瑪公式|高中12年級|數學學院

觀念

二元一次聯立方程式 $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ 的解可以用行列式直接寫出: $\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$ , $\Delta_x$ 是把 $x$ 的係數行換成常數行, $\Delta_y$ 同理,則 $x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}$ 、 $y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}$ ( $\Delta\ne0$ )。 $\Delta=0$ 時方程組無解或無限多解。

例: $2x+y=5,\ x-y=1$ : $\Delta=-3$ 、 $\Delta_x=-6$ 、 $\Delta_y=-3$ , $x=2,y=1$ 。

克拉瑪公式把「解方程」變成「算行列式」,推廣到三元一次方程組與反矩陣公式,是線性代數的入口。

例題

對聯立方程式 $\begin{cases} 4x-4y = 0 \\ -x-4y = -15 \end{cases}$ ,求克拉瑪公式中的 $\Delta_x$ (把 $x$ 的係數行換成常數行的行列式)。

看解法與答案

係數行列式: $\Delta = \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = (4)(-4) - (-4)(-1) = -16 - (4) = -20$ 。

$x$ 那一行換成常數行: $\Delta_x = \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ -15 & -4 \end{vmatrix} = (0)(-4) - (-4)(-15) = -60$ 。

$y$ 那一行換成常數行: $\Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ -1 & -15 \end{vmatrix} = (4)(-15) - (0)(-1) = -60$ 。

$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = -60 \div (-20) = 3$ 、 $y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = -60 \div (-20) = 3$ 。

答案:

-60

用在哪裡

工程電路兩個迴路依克希荷夫定律列出兩條方程式,用行列式直接解出兩個迴路電流。
商業用每公斤 300 與 500 元的豆子配出 10 公斤、每公斤 400 元的綜合豆,解二元一次方程組得各用 5 公斤。
化學配平化學方程式先固定一個係數,其餘係數寫成聯立方程式,再用克拉瑪公式解出來。

插畫

學習路徑

先學會

反矩陣與行列式高中 11 年級

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