複數的 n 次方根|高中12年級|數學學院

觀念

方程式 $z^n=w$ ( $w\ne0$ )在複數中恰有 $n$ 個相異解,用極式與棣美弗定理求:長度開 $n$ 次方根,角度為 $\dfrac{\theta+360^\circ k}{n}$ , $k=0,\ldots,n-1$ ,這些根在複數平面上均勻分布在一個圓上。

例: $z^3=8$ 的解為 $2$ 、 $-1\pm\sqrt3 i$ 。

這是代數基本定理的具體展現,也是訊號處理中離散傅立葉變換的基礎。

例題

如圖,方程式 $z^{6} = -1$ 的 $6$ 個根在複數平面上均勻排在圓上,依輻角由小到大( $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ )記為 $z_0, z_1, z_2, z_3, z_4, z_5$ (圖上寫作 z₀、z₁…)。圖中標 ? 的是 $z_0$ ,求 $z_0$ (寫成 $a + bi$ )。

看解法與答案

$z^{6} = -1$ 寫成極式:長度 $1$ 、輻角 $180^\circ$ 。根的長度 $\sqrt[6]{1} = 1$ ,輻角 $\dfrac{180^\circ + 360^\circ k}{6}$ , $k = 0, \ldots, 5$ ,即 $30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 270^\circ, 330^\circ$ 。

$z_0$ 的輻角是 $30^\circ$ : $z_0 = (\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ 。

答案:

\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i

用在哪裡

電腦快速傅立葉轉換(FFT)在 $n$ 個 $n$ 次單位根上取樣,把多項式乘法從約 $n^2$ 次運算降到 $n\log n$ 次。
通訊QPSK 調變的四個符號點正是 $z^4=-1$ 的四個根,均勻排在單位圓上,每點代表 2 個位元。
工程三相電的三個電壓相量互差 120°,恰好是 $z^3=1$ 的三個根乘上振幅,三者相加為 0。

插畫

學習路徑

先學會

複數極式與棣美弗高中 11 年級

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