曲線下面積|高中12年級|數學學院

觀念

定積分的幾何意義是「曲線與 $x$ 軸之間的有號面積」:曲線在上方為正、下方為負。求面積時先找交點決定積分範圍,曲線在 $x$ 軸下方要取絕對值;兩曲線之間的面積是 $\int(\text{上}-\text{下})dx$ 。

例: $y=x^2-4$ 與 $x$ 軸:交點 $\pm2$ ,面積 $=\left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)dx\right|=\dfrac{32}{3}$ 。拋物線與直線圍出的面積有捷徑 $\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}$ 。

面積是積分最直觀的應用,體積、弧長、機率(密度曲線下面積)都是它的延伸。

例題

求拋物線 $y = x^{2}+3x$ 與 $x$ 軸所圍區域的面積(可為最簡分數)。

看解法與答案

先找交點: $x^{2}+3x = (x+3)(x) = 0 \Rightarrow x = -3, 0$ 。拋物線在兩根之間在 x 軸下方,面積取積分的絕對值。

反導函數 $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}$ 。 $F(0) = \left(\frac{1}{3}\right)(0)^{3} + \left(\frac{3}{2}\right)(0)^{2} = 0$ 。

$F(-3) = \left(\frac{1}{3}\right)(-3)^{3} + \left(\frac{3}{2}\right)(-3)^{2} = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$ 。

積分 $= 0 - (\frac{9}{2}) = -\frac{9}{2}$ ,面積 $= \frac{9}{2}$ 。(驗算:公式 $\dfrac{|a|(\beta - \alpha)^3}{6}$ ,這裡 $|a| = 1$ : $\dfrac{27}{6} = \frac{9}{2}$ 。)

答案:

\frac{9}{2}

用在哪裡

統計機率密度曲線下從 $a$ 到 $b$ 的面積就是落在這區間的機率,整條曲線下的面積恆為 1。
醫療藥物的 AUC(濃度-時間曲線下面積)衡量體內總暴露量,學名藥要和原廠藥相當才能核准。
社會吉尼係數由洛倫茲曲線與 45° 線之間的面積算出,台灣家庭所得吉尼係數約 0.34。
物理彈簧從原長拉長 0.1 公尺,力-位移圖下的面積 $\int_0^{0.1}kx\,dx$ 就是存進去的彈性位能。

插畫

學習路徑

先學會

多項式函數的積分高中 12 年級

學完可以接著學

旋轉體體積高中 12 年級

互動練習在本機版

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。