空間向量與外積|高中11年級|數學學院

觀念

三維向量 $(x,y,z)$ 的加減、內積、長度都和平面一樣多一個分量。新工具是外積 $\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)$ :它同時垂直於 $\vec a$ 與 $\vec b$ ,長度等於兩向量張成的平行四邊形面積。三向量的 $|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c|$ 是平行六面體體積,也就是 $3\times3$ 行列式的絕對值。

例: $(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)$ ; $(1,2,2)\cdot(2,1,2)=8$ , $\cos\theta=\dfrac{8}{9}$ 。

外積給出平面的法向量,是空間直線與平面方程式、力矩與旋轉的核心工具。

例題

以 $\vec{a} = (-3,\ 0,\ -3)$ 、 $\vec{b} = (3,\ 3,\ 3)$ 為兩邊的平行四邊形,面積是多少?(保留根號)

看解法與答案

外積 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1)$ 。

第一分量: $(0)(3) - (-3)(3) = 0 + 9 = 9$ ;第二分量: $(-3)(3) - (-3)(3) = -9 + 9 = 0$ 。

第三分量: $(-3)(3) - (0)(3) = -9 + 0 = -9$ ,所以 $\vec{a} \times \vec{b} = (9,\ 0,\ -9)$ 。

平行四邊形面積 $= |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(9)^2 + (0)^2 + (-9)^2} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$ 。

答案:

9 \sqrt{2}

用在哪裡

物理扳手長 0.3 公尺、垂直施力 100 牛頓,力矩 $\vec r\times\vec F$ 大小 30 牛頓·公尺,方向沿著螺絲軸。
電腦3D 遊戲算光照:三角形兩邊外積得法向量,再和光線方向做內積,決定這一面有多亮。
地理北半球颱風逆時針旋轉來自科氏力 $-2m\vec\Omega\times\vec v$ ,這股力就是地球自轉向量與風速的外積。

插畫

學習路徑

先學會

平面向量高中 11 年級

學完可以接著學

空間直線與平面高中 11 年級
三階行列式高中 12 年級

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