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線性規劃

高中 11 年級 · 代數

觀念

在幾條線性不等式圍出的可行區域內,讓線性目標函數 $ax+by$ 最大或最小;可行區域是有界的多邊形時,最大值、最小值一定可以在頂點取得,所以只要算頂點代入比較。

例: $x+y\le4$ 、 $x\ge0$ 、 $y\ge0$ 下 $3x+2y$ 的最大值在頂點 $(4,0)$ ,為 12。

這是生產排程、資源分配等最佳化問題的入門模型。

如圖,在聯立不等式 $\begin{cases} x \ge 0,\ y \ge 0 \\ 4x + 3y \le 24 \\ x + y \le 7 \end{cases}$ 所圍的可行域(綠色)上,求 $f(x, y) = x + 4y$ 的最大值。

看解法與答案

可行域是四邊形,頂點為 $(0, 0)$ 、 $(6, 0)$ 、 $P$ 、 $(0, 7)$ 。 $P$ 是兩直線交點:解 $\begin{cases} 4x + 3y = 24 \\ x + y = 7 \end{cases}$ 得 $P(3, 4)$ 。

線性函數的最大值一定出現在頂點,逐一代入 $x + 4y$ : $(0, 0)$ : $0$ 、 $(6, 0)$ : $6$ 、 $(3, 4)$ : $19$ 、 $(0, 7)$ : $28$ 。

最大值為 $28$ ,在 $(0, 7)$ 取得。

答案:

28

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