期望值與變異數|高中11年級|數學學院

觀念

期望值 $E(X)=\sum x_ip_i$ 是「長期平均」:每種結果乘上它的機率再相加。變異數 $\text{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E(X^2)-E(X)^2$ 衡量結果離平均多遠,標準差是它的平方根。

例:擲骰子出 6 得 60 元、否則付 10 元: $E=60\cdot\dfrac{1}{6}-10\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{6}$ 元,長期玩是賺的。彩券期望獲利為負就是「莊家優勢」。

期望值是決策、保險定價與投資報酬的核心;變異數則是風險的度量,二項分布與常態分布都用這兩個量描述。

隨機變數 $X$ 的機率分布如下,求期望值 $E(X)$ (最簡分數)。

$\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 2 & 3 \\ \hline P & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{array}$

看解法與答案

期望值 $E(X) = \sum x_i p_i$ :每個值乘上它的機率再相加。

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2}$ 。

通分(分母 $6$ )相加: $\dfrac{0 + 2 + 9}{6} = \frac{11}{6}$ 。

答案:

\frac{11}{6}

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