不等式證明|高中10年級|數學學院

觀念

證不等式的兩個主力:(1) 移項相減後配方,寫成平方和 $\ge 0$ ,例如 $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge 0$ ;(2) 算幾不等式:正數 $u,v$ 滿足 $\frac{u+v}{2}\ge\sqrt{uv}$ ,等號在 $u=v$ 時成立。

用算幾前要先說明兩項都是正數;題目要求等號時,要解出等號成立的條件。常見漏洞是對可能為負的數用算幾,或除以可能為負的數卻沒變號。

例: $x>0$ 時 $x+\frac{4}{x}\ge 4$ 。兩項都正,由算幾 $x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4$ ,等號在 $x=\frac{4}{x}$ 即 $x=2$ 時成立。

證明:對所有正實數 $x$ , $x+\frac{9}{x}\ge 6$ ,並指出等號何時成立。

看參考證明

移項通分: $x+\frac{9}{x}-6=\frac{x^2-6x+9}{x}$ 。

分子配方: $x^2-6x+9=(x-3)^2\ge 0$ 。

分母 $x>0$ ,非負數除以正數仍非負,所以 $x+\frac{9}{x}-6\ge 0$ 。

等號成立若且唯若 $(x-3)^2=0$ ,即 $x=3$ 。

結論:

x+\frac{9}{x}\ge 6

,等號在

x=3

時成立

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。