多項式函數圖形|高中10年級|數學學院

觀念

三次函數 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 的圖形由首項係數決定兩端走向( $a>0$ 時左下右上),零點由因式分解得到,重根處圖形與 $x$ 軸相切。搭配正負號表就能大致畫出圖形,不需要微積分。

例: $y=(x+1)(x-1)(x-3)$ 在 $x=-1,1,3$ 穿過 $x$ 軸, $x>3$ 時為正。

這是後面用導數分析極值與凹凸的前置直覺。

三次函數 $y = x^{3}-3x^{2}+4x-12$ 的圖形與 $x$ 軸有幾個交點?

看解法與答案

試常數項 $-12$ 的因數: $x = 3$ 代入得 $y = (3)^{3} - 3(3)^{2} + 4(3) - 12 = 27 - 27 + 12 - 12 = 0$ ,所以 $x-3$ 是因式。

綜合除法除以 $x-3$ :係數 $1, -3, 4, -12$ 得商 $x^{2}+4$ 、餘 $0$ 。

剩下的二次式 $x^{2}+4$ 判別式 $= (0)^2 - 4(1)(4) = -16$ < 0,沒有實根。整體 $y = (x - 3)(x^2 + 4)$ 。

$x^2 + 4 = 0$ 沒有實根( $x^2 + 4$ 恆大於 0),只有 $x = 3$ 一個交點,所以答案是 $1$ 。

答案:

1

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。